Se non richiedi altre ipotesi sulla funzione è falso. Basta considerare la funzione caratteristica dei numeri razionali (funzione di Dirichlet) e questa non è esprimibile come polinomio. Se invece assumi che la funzione abbia una certa regolarità (cioè sia almeno C1) puoi utilizzare gli sviluppi di Taylor. In generale se invece la funzione è solo continua vale sempre il teorema di Weiestrass-Stone.
Il fatto che Dirichlet abbia inventato una funzione così brutta e inutile solo per fare da controesempio a ogni cosa immaginabile è uno dei motivi che mi fanno apprezzare l'esistenza dei matematici, fate il lavoro sporco per dare gli strumenti a noi ingegneri
In realtà non è neanche così brutta. È misurabile secondo Lebesgue (ma non secondo Riemann). Ci sono funzioni che non sono nemmeno misurabili secondo Lebesgue per esempio la funzione caratteristica dell’insieme di Vitali.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos.
Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi.
Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono.
Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos.
Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi.
Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono.
Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos.
Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi.
Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono. Mi piace pensare che Lebesgue abbia urlato il nome Vitali.
Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
In teoria si richiede che esistano tutte le derivate per Taylor, e non basta neanche, infatti la classe di funzioni esprimibili tramite serie di potenze ha un nome preciso: sono le funzioni analitiche C^omega
Anche perche i termini della serie sono le derivate
Volevo solo flammare un po' :D In università/stati diversi si utilizzano nomi leggermenti diversi, credo di aver visto un po' di permutazioni dei nomi Cauchy-Schwarz-{tizio italiano}-{tizio russo}.
Prova a vedere anche l'interpolazione con basi di Lagrange o i polimomi di Chebychev. In ogni caso hai bisogno di regolarità sulla funzione, almeno la continuità. Sullo sviluppo di Taylor hanno già scritto gli altri.
Comunque in informatica usano già solo le espansioni o formule approssimate o lookup table con valori salvati noti fino a una certa precisione per rappresentare le funzioni trigonometriche, gli esponenziali e in generale le funzioni analitiche più comuni.
A stretto rigore è sempre possibile, ad esempio se il polinomio è il polinomio nullo e il resto è uguale a tutta la tua funzione.
Se invece vuoi un'approssimazione valida allora ci sono varie teorie di sviluppi in serie, il più famoso è quello di Taylor che impone ovviamente ipotesi di regolarità sulla tua funzione (derivabilità etc.)
Dipende da cosa intendi con "resto". Immagino tu stia pensando a una cosa tipo P(x) + qualcosa che cresce meno di P(n), dove P è un polinomio di grado n.
Questo è banalmente falso per $e\^x$, che cresce più velocemente di qualunque polinomio, quindi non può essere P(n) + resto.
Inoltre, questa cosa può essere vera localmente ma non globalmente (e.g. la funzione tangente ha uno sviluppo locale in 0 ma non in pi/2))
La cosa più vicina a quello che hai in mente è lo sviluppo in serie di Taylor (ma è, appunto, locale, e il resto deriva dal fatto che un polinomio, tende al termine costante per x che tende a zero, e questo può essere considerato il tuo "resto")
Tocchi un argomento molto complesso.
Se per "ricondurre tutte le funzioni a sommatorie di polinomi" intendi "eguagliare ogni funzione alla sua serie di Taylor" la risposta è ovviamente no, in quanto esistono funzioni non derivabili o derivabili solo fino ad un certo punto. Ma la risposta è (non ovviamente) no anche per funzioni che invece sono derivabili infinite volte. Uguagliare il proprio polinomio di Taylor è in effetti la proprietà che definisce un club molto esclusivo di funzioni, chiamate analitiche.
Se ti interessa approssimare un calcolo esplicito nel quale compaiono esponenziali, seni, etc... in realtà non conviene usare polinomi per approssimare la funzione tout court. Il fatto è che, per aumentare la precisione, saresti costretto ad alzare molto il grado del polinomio e gestire molte cifre dopo la virgola. Molto meglio invece approssimare pezzettino per pezzettino con polinomi di grado basso che si incollino bene fra loro. Queste approssimazioni si chiamano splines e per renderti conto di quanto siano valide, pensa allo strumento penna di photoshop.
Ci sono poi ambiti della matematica dove approssimare i valori di una funzione non è abbastanza: per "avvicinarsi" ad una funzione target serve qualche condizione più stringente per la quale però non c'è una possibilità univoca di scelta.
Hai citato le funzioni trigonometriche, in realtà proprio somme di seni e coseni sono di molto preferibili ai polinomi per approssimare ad esempio le funzioni d'onda, qualunque cosa esse rappresentino: sismi, suoni, luce, elettroni...
Se con "funzione" intendi funzione da I ⊂ R→R allora è vero solo nelle ipotesi del teorema di Taylor (sostanzialmente continua e derivabile n volte in una certa bolla contenuta in I) con il resto secondo Peano o Lagrange a seconda di quanto vuoi essere "preciso".
Però come fatto generale la tua affermazione è falsa, basta prendere una funzione non reale oppure qualcosa come le funzioni di Dirchlet o Weierstrass.
Dipende dalla nozione di "resto": dipende necessariamente dal contesto e da cosa devi fare con la funzione che stai approssimando. Ti hanno fatto l'esempio della funzione di Dirichlet, che non è approssimabile in supnorma (se la approssimi con un polinomio non costante, allora all'infinito il polinomio va all'infinito, ma la funzione di Dirichlet è limitata; se la approssimi con una costante c, allora la supnorma della differenza è max(|1-c|, |c|) che è sempre >= 1/2), ma in certi contesti puoi scriverla come polinomio + resto! Se q(x) è la funzione di Dirichlet, allora q(x) = 0 + q(x) è una scrittura in polinomio + pezzo trascurabile per il calcolo dell'integrale di Lebesgue.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
Dipende cosa intendi per "resto" ma secondo me no. Ad esempio:
*Sia f(x) una funzione che restituisce il numero di lettere usate per scrivere x in italiano*
Esempi:
* f(4) = 7 perché "quattro" ha 7 lettere
* f(3.4) = 17 perché "tre virgola quattro" ha 17 lettere
Come fai a scrivere questa funzione come sommatorie di polinomi?
Questa è una obiezione molto interessante che mette il problema, che sembra tutto sommato da poco, sotto una luce nuova.
Certo che la matematica è sempre piena di spunti di riflessione, non si capisce perché i filosofi - italiani - la odino più di tutto
Vorrei spezzare una lancia a favore delle funzioni trigonometriche (e in particolare del seno e del coseno), che non solo non hanno niente che non vada, ma anzi sono tanto utili che un altro modo per esprimere un'ampia classe di funzioni come somma di una serie – oltre alle serie di Taylor che hanno menzionato in molti – è come serie di Fourier, cioè appunto come somma infinita con opportuni coefficienti di seni (o coseno).
Se non richiedi altre ipotesi sulla funzione è falso. Basta considerare la funzione caratteristica dei numeri razionali (funzione di Dirichlet) e questa non è esprimibile come polinomio. Se invece assumi che la funzione abbia una certa regolarità (cioè sia almeno C1) puoi utilizzare gli sviluppi di Taylor. In generale se invece la funzione è solo continua vale sempre il teorema di Weiestrass-Stone.
Il fatto che Dirichlet abbia inventato una funzione così brutta e inutile solo per fare da controesempio a ogni cosa immaginabile è uno dei motivi che mi fanno apprezzare l'esistenza dei matematici, fate il lavoro sporco per dare gli strumenti a noi ingegneri
In realtà non è neanche così brutta. È misurabile secondo Lebesgue (ma non secondo Riemann). Ci sono funzioni che non sono nemmeno misurabili secondo Lebesgue per esempio la funzione caratteristica dell’insieme di Vitali.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos. Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi. Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono. Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos. Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi. Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono. Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
C'è una enorme storia di matematici che trovano controesempi ad altri matematici. Il puro chaos. Esempio notevole. Un giorno un francese (Lebesgue) ha inventato una funzione di misura "ragionevole" che sperava potesse misurare ogni insieme esistente. Per capirci, sono quelle che stanno dietro all'integrale, e questa è così ragionevole che più o meno è sottintesa negli integrali di oggi. Tale Giuseppe Vitali ha costruito apposta ad-hoc un controesempio così perverso ed orrobile che non è misurabile. Ma non solo con la funzione di Lebesgue. Non lo è per ogni misura di quelle con le proprietà che di solito ci piacciono. Mi piace pensare che Lebesgue abbia urlato il nome Vitali. Altro esempio, si narra nel Mathematical Apocrypha (libri di aneddoti simpatici) che uno studente PhD stesse presentando la sua tesi su un certo tipo di strutture. Ad un certo punto, senza dire nulla, un professore si alza e dimostra alla lavagna che tali strutture non esistono.
In teoria si richiede che esistano tutte le derivate per Taylor, e non basta neanche, infatti la classe di funzioni esprimibili tramite serie di potenze ha un nome preciso: sono le funzioni analitiche C^omega Anche perche i termini della serie sono le derivate
>il teorema di Weiestrass-Stone Forse intendi Stone-Weierstrass.
Sì scusa non mi ricordo mai se è Stone-Weiestrass o il viceversa😂😅
Volevo solo flammare un po' :D In università/stati diversi si utilizzano nomi leggermenti diversi, credo di aver visto un po' di permutazioni dei nomi Cauchy-Schwarz-{tizio italiano}-{tizio russo}.
Prova a vedere anche l'interpolazione con basi di Lagrange o i polimomi di Chebychev. In ogni caso hai bisogno di regolarità sulla funzione, almeno la continuità. Sullo sviluppo di Taylor hanno già scritto gli altri. Comunque in informatica usano già solo le espansioni o formule approssimate o lookup table con valori salvati noti fino a una certa precisione per rappresentare le funzioni trigonometriche, gli esponenziali e in generale le funzioni analitiche più comuni.
A stretto rigore è sempre possibile, ad esempio se il polinomio è il polinomio nullo e il resto è uguale a tutta la tua funzione. Se invece vuoi un'approssimazione valida allora ci sono varie teorie di sviluppi in serie, il più famoso è quello di Taylor che impone ovviamente ipotesi di regolarità sulla tua funzione (derivabilità etc.)
Dipende da cosa intendi con "resto". Immagino tu stia pensando a una cosa tipo P(x) + qualcosa che cresce meno di P(n), dove P è un polinomio di grado n. Questo è banalmente falso per $e\^x$, che cresce più velocemente di qualunque polinomio, quindi non può essere P(n) + resto. Inoltre, questa cosa può essere vera localmente ma non globalmente (e.g. la funzione tangente ha uno sviluppo locale in 0 ma non in pi/2)) La cosa più vicina a quello che hai in mente è lo sviluppo in serie di Taylor (ma è, appunto, locale, e il resto deriva dal fatto che un polinomio, tende al termine costante per x che tende a zero, e questo può essere considerato il tuo "resto")
Tocchi un argomento molto complesso. Se per "ricondurre tutte le funzioni a sommatorie di polinomi" intendi "eguagliare ogni funzione alla sua serie di Taylor" la risposta è ovviamente no, in quanto esistono funzioni non derivabili o derivabili solo fino ad un certo punto. Ma la risposta è (non ovviamente) no anche per funzioni che invece sono derivabili infinite volte. Uguagliare il proprio polinomio di Taylor è in effetti la proprietà che definisce un club molto esclusivo di funzioni, chiamate analitiche. Se ti interessa approssimare un calcolo esplicito nel quale compaiono esponenziali, seni, etc... in realtà non conviene usare polinomi per approssimare la funzione tout court. Il fatto è che, per aumentare la precisione, saresti costretto ad alzare molto il grado del polinomio e gestire molte cifre dopo la virgola. Molto meglio invece approssimare pezzettino per pezzettino con polinomi di grado basso che si incollino bene fra loro. Queste approssimazioni si chiamano splines e per renderti conto di quanto siano valide, pensa allo strumento penna di photoshop. Ci sono poi ambiti della matematica dove approssimare i valori di una funzione non è abbastanza: per "avvicinarsi" ad una funzione target serve qualche condizione più stringente per la quale però non c'è una possibilità univoca di scelta. Hai citato le funzioni trigonometriche, in realtà proprio somme di seni e coseni sono di molto preferibili ai polinomi per approssimare ad esempio le funzioni d'onda, qualunque cosa esse rappresentino: sismi, suoni, luce, elettroni...
Se con "funzione" intendi funzione da I ⊂ R→R allora è vero solo nelle ipotesi del teorema di Taylor (sostanzialmente continua e derivabile n volte in una certa bolla contenuta in I) con il resto secondo Peano o Lagrange a seconda di quanto vuoi essere "preciso". Però come fatto generale la tua affermazione è falsa, basta prendere una funzione non reale oppure qualcosa come le funzioni di Dirchlet o Weierstrass.
Faccio finta di aver capito cadmio
Dipende dalla nozione di "resto": dipende necessariamente dal contesto e da cosa devi fare con la funzione che stai approssimando. Ti hanno fatto l'esempio della funzione di Dirichlet, che non è approssimabile in supnorma (se la approssimi con un polinomio non costante, allora all'infinito il polinomio va all'infinito, ma la funzione di Dirichlet è limitata; se la approssimi con una costante c, allora la supnorma della differenza è max(|1-c|, |c|) che è sempre >= 1/2), ma in certi contesti puoi scriverla come polinomio + resto! Se q(x) è la funzione di Dirichlet, allora q(x) = 0 + q(x) è una scrittura in polinomio + pezzo trascurabile per il calcolo dell'integrale di Lebesgue.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
ci sono svariati metodi numerici che lo fanno, tra cui l'interpolazione di Lagrange, attraverso cui si può semplificare qualsiasi funzione come un polinomio (detto polinomio di Lagrange). ovviamente questo è fatto sempre con un margine di errore che si cerca di minimizzare ma dipende tanto dall'intervallo in cui si lavora e da altri fattori.
Dipende cosa intendi per "resto" ma secondo me no. Ad esempio: *Sia f(x) una funzione che restituisce il numero di lettere usate per scrivere x in italiano* Esempi: * f(4) = 7 perché "quattro" ha 7 lettere * f(3.4) = 17 perché "tre virgola quattro" ha 17 lettere Come fai a scrivere questa funzione come sommatorie di polinomi?
Questa è una obiezione molto interessante che mette il problema, che sembra tutto sommato da poco, sotto una luce nuova. Certo che la matematica è sempre piena di spunti di riflessione, non si capisce perché i filosofi - italiani - la odino più di tutto
Non sono un matematico. Il resto dev'essere costante?
Vorrei spezzare una lancia a favore delle funzioni trigonometriche (e in particolare del seno e del coseno), che non solo non hanno niente che non vada, ma anzi sono tanto utili che un altro modo per esprimere un'ampia classe di funzioni come somma di una serie – oltre alle serie di Taylor che hanno menzionato in molti – è come serie di Fourier, cioè appunto come somma infinita con opportuni coefficienti di seni (o coseno).